Născut în Utica, New York, Curran a studiat ilustrarea și designul la Universitatea Syracuse, apoi a lucrat ca ilustrator, designer grafic și designer de producție în Manhattan înainte de a se muta în Sydney, Australia, în 1986. Acolo a lucrat la reclame pentru televiziune înainte de a scrie și regiza scurtmetrajul Down Rusty Down. Pentru debutul său în lungmetraj, drama din 1998 Praise, a fost nominalizat la Premiul Institutului de Film Australian pentru Cea Mai Bună Regie și a câștigat Premiul Cercului Criticilor de Film din Australia pentru Cel Mai Bun Regizor și Premiul Criticilor Internaționali la Festivalul Internațional de Film de la Toronto.
Au trecut șase ani înainte ca Curran să abordeze următorul său proiect, filmul independent We Don't Live Here Anymore, pentru care a fost nominalizat la Marele Premiu Special la Festivalul de Film American de la Deauville și la Marele Premiu al Juriului la Festivalul de Film Sundance. A urmat acestuia, doi ani mai târziu, cu The Painted Veil, a treia adaptare cinematografică a romanului din 1925 de W. Somerset Maugham.
A scris scenariul pentru The Killer Inside Me, a doua adaptare cinematografică a romanului din 1952 de Jim Thompson. Regizat de Michael Winterbottom și avându-i în distribuție pe Jessica Alba, Kate Hudson, Casey Affleck și Bill Pullman, filmul se află în prezent în filmare în Oklahoma. De asemenea, este programat să regizeze The Beautiful and the Damned, un biopic despre Zelda și F. Scott Fitzgerald, cu Keira Knightley în rolul principal.